Назад . Вперед
Содержание
Предисловие
I. Основные теоретические сведения
1. Введение
2. Кинематика
3. Динамика материальной точки
4. Силы в природе
5. Законы сохранения в механике
6. Механика твердого тела
7. Механические колебания и волны
8. Гравитация
II. Дидактические материалы
1. Задания для самопроверки усвоения материала на репродуктивном уровне
2. Алгоритм решения задач по динамике
3. Примеры решения задач
4. Основная и дополнительная литература
III. Модели
Кинематика
4. Силы в природе.
Фундаментальные взаимодействия
Упругие деформации. Закон Гука
Упругие силы
Трение
Жидкое трение
Сухое трение при поступательном движении
Тяготение
Гравитационная постоянная


Фундаментальными называются взаимодействия, которые нельзя свести к более простым. В настоящее время выделяют 4 типа фундаментальных взаимодействий.
1)  Гравитационное – взаимное притяжение всех тел природы, не зависящее от свойств промежуточной среды. В основе лежит закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном. Играют решающую роль в небесной механике и астрофизике.
2) Электромагнитное – взаимодействие между неподвижными или движущимися электрическими зарядами. Определяет молекулярные силы и силы, удерживающие электрон на орбите около атомного ядра. Если сравнить гравитационное и электромагнитное взаимодействие ядра атома водорода с электроном, то . Силы трения и упругости имеют электромагнитную природу. Т.о., электромагнитное взаимодействие обеспечивает возможность существования атомов, молекул, кристаллов, а также определяет свойства твердых тел, жидкостей, плазмы. Кулоновские силы вызывают деление ядер с большими массовыми числами.
3)  Ядерное (сильное) взаимодействие – возникает между частицами, входящего в состав атомного ядра. Силы убывают чрезвычайно быстро с увеличением расстояния между частицами, радиус действия - м. Поэтому их называют короткодействующими.
4)  слабое – обнаруживается в процессах превращения элементарных частиц с участием нейтрино, например, бета-распад нейтрона в ядре.
В рамках классической механики рассматривают гравитационные и электромагнитные силы. Рассмотрим некоторые силы более  подробно.
При действии на тело силы его объем и форма изменяются, т.е. возникает деформация тела. Изменение формы жидкости или газа достигается сколь угодно малыми силами, т.к. в этих состояниях вещество не обладает упругостью формы. В твердом состоянии для изменения формы требуются значительные силы. Это объясняется следующим образом.
 В твердом теле частицы занимают определенное положение равновесия (точнее, хаотически колеблются около них), образуя кристаллическую решетку. При растяжении тела проявляются силы сцепления между его частицами, при сжатии – сила отталкивания. Сила притяжения и отталкивания зависят от расстояния.
  Примерная зависимость сил притяжения Fпр  и отталкивания Foт показана на рисунке для случая двух молекул, одна из которых находится в начале координат, другая на расстоянии ρ0 от нее. На расстоянии ρ0 силы притяжения и отталкивания уравновешивают друг друга. Если ρ < ρ0 , то больше сила отталкивания, если ρ > ρ0,  то больше сила притяжения.

Рассмотрим основные виды деформации.

1)  Если к однородному, закрепленному с одного конца стержню приложить силу F вдоль оси, то он подвергается деформации растяжения. Она характеризуется абсолютным удлинением Δl = l – l0  и относительным
удлинением    (1), где  l0 – начальная, l – конечная длина стержня.
При растяжении или сжатии меняется площадь поперечного сечения, но чаще всего изменением площади можно пренебречь. Деформацию растяжения испытывают тросы, канаты, сцепы между вагонами и т.п.
2) Если приложить к резиновому бруску горизонтальную силу F, то слои бруска a, b, c, d,e сдвинутся, оставаясь параллельными друг другу, а вертикальные грани наклонятся на угол α . Это деформация сдвига. Если силу увеличить в два раза, то угол также увеличится в два раза, т.е. α ˜ F. Деформацию сдвига испытывают заклепки, болты и т.п. При действии больших сил происходит срез (например, при резании ножницами бумаги).
Деформация изгиба наблюдается, если, например, на балку действовать сило, направленной перпендикулярно к ее середине. За меру деформации принимается смещение середины балки О1О2 = h, которое называется стрелой прогиба. При упругой деформации стрела прогиба пропорциональна нагрузке.
Деформация кручения возникает, если на стержень, один конец которого закреплен, подействовать парой сил, лежащих  в плоскости поперечного сечения стрежня. При скручивании стержня круглого сечения  квадраты a, b, c,d  скашиваются, превращаясь в ромбы. При кручении стержень может представить как систему кружков, насаженных центрами на общую ось ОО'. Каждый кружок (т.е. слой) поворачивается на один и тот же угол. На самом удаленном от закрепленного торца краю угол поворота максимален, его называют углом кручения.
Основными деформациями являются деформации растяжения и сдвига. При деформации изгиба происходит неоднородное растяжение и сжатие, при деформации кручения – неоднородный сдвиг.
 В любом сечении деформируемого тела действуют силы упругости, препятствующие разрыву тела на части. Деформированное тело находится в напряженном состоянии, которое характеризуется физической величиной, называемой механическим напряжением.
 Напряжение – величина, равная отношению модуля силы к площади поперечного сечения.
  (2)
При исследовании деформации растяжения строят график зависимости напряжения σ от относительного удлинения ε, который называется диаграммой растяжения. При малых деформация напряжение σ прямо пропорционально относительному удлинению ε (участок ОА), эта зависимость выражается законом Гука, т.е.   (3). Коэффициент пропорциональности E называется модулем упругости или модулем Юнга. Модуль Юнга характеризует сопротивляемость материала деформации растяжения или сжатия. Если относительное удлинение ε=1, то , т.е. модуль Юнга равен напряжению, возникающему в стержне при относительном удлинении, равном 1 (другими словами, при увеличении длины в два раза).  Однако на самом деле любое тело (кроме резины) не может удвоить свою длину при упругой деформации, т.к. раньше произойдет разрыв. Поэтому модуль Юнга определяется по формуле   (2), при измерении напряжения при малых деформациях. Сравнивая (2) и (3), получим: , если отсюда выразить силу, то   (4), если обозначить , то получим закон Гука в привычном для нас виде  (5).
Модуль Юнга является табличной величиной, приведем примеры его значений для некоторых материалов (а заодно значение предела прочности, который мы рассмотрим чуть позже).

Вещество Модуль Юнга (Па) Предел прочности (Па)
Алюминий 6,9·1010 1,1·108
Медь 19,6·1010 2,45·108
Свинец 1,57·1010 0,2·108
Сталь 21,6·1010 7,85·108
Упругие деформации полностью исчезают после снятия нагрузки. Максимальное напряжение, при котором выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности σпроп. При дальнейшем увеличении нагрузки деформация становится нелинейной. Однако при небольших нелинейных деформациях форма и размеры тела практически восстанавливаются после снятия нагрузки (участок АВ). Максимальное напряжение, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации, называется  пределом упругости σупр. Если напряжение превышает предел упругости, то после снятия нагрузки образец остается деформированным, хотя и с меньшим удлинением, т.е. происходит пластическая деформация (участок ВС). При некотором значении напряжения, соответствующем точке С графика, удлинение возрастает практически без увеличения нагрузки – наблюдается текучесть материала. Если напряжение увеличивать еще, то в наименее прочной части образца появится сужение, или шейка (от точки Д графика), т.е. площадь сечения уменьшается, и для дальнейшего удлинения нужно меньшее напряжение (участок ЕF), в точке F наступает разрушение образца. Наибольшее напряжение, которое выдерживает образец без разрушения, называется пределом прочности σпроч.
Чтобы свести к минимуму возможность разрушения сооружения, необходимо при расчетах допускать в элементах конструкций только такие напряжения, которые составляют лишь часть от предела прочности материала. Такие напряжения называют допустимыми σдоп. Число, показывающее, во сколько раз предел прочности больше допустимого напряжения, называется запасом прочности, т.е.
 (6).
В механике рассматривается не физическая природа сил сопротивления, а только их проявление. Это связано с тем, что, несмотря на ясное происхождение трения (электромагнитное взаимодействие), строгое количественное рассмотрение сил трения является сложным и выходящим за пределы механики. Трение возникает в результате сцепления между поверхностями, по­этому оно существенно зависит от скорости относительного движения, состояния поверхностей, степени их прижимания, формы, среды и т.д.  Рассмотрим проявление сил трения, которое необходимо для осмысленного использования уравнения движения в задачах, где трением нельзя пренебречь.
Силы сопротивления, возникающие при дви­жении твердого тела в жидкости или газе, называются силами жидкого трения. Простейшие опыты с легкими телами (например, пенопластовым шариком, помещенным на поверхность воды), позволяют установить важнейшие особенности этого трения:
а)  шарик приходит в движение постепенно при сколько угодно слабом,  но длительном воздействии на него;
б)  если прекратить воздействие, то шарик постепенно останавливается;
в)  время возрастания скорости и время торможения растет при увеличении массы поплавка и зависит от его формы; от формы зависит также установившаяся скорость при постоянном воздействии.
При небольших скоростях (не более нескольких метров в секунду в жидкости или десятков метров в секунду в газе) сила жидкого трения пропор­циональна скорости и направлена противоположно ей:
 (7),
где   г — коэффициент   сопротивления,   зависящий   от состояния поверхности тела, его формы и природы жидкости.
Пусть некоторое тело массой mв момент t=0 имело скорость v0. Второй закон Ньютона в скалярной форме имеет вид:
  (8),
или, после разделения переменных
  (9),
где   - характерное для системы время, называемое временем установления (релаксации). Интегрируя,  получаем:
 или  (10).
Т.о., торможение тем сильнее, чем меньше масса и чем больше коэффициент сопротивления.  Изобразим график уравнения  (10) (рис. 1). Видно, что при меньшем значении коэффициента релаксации скорость падает быстрее от начального значения до нуля.
Если начальная скорость тела равна нулю, и в момент t=0 на него начинает действовать постоянная сила , то уравнение движения в скалярной форме следующее:
  (11).
Так как F=const, а сила трения растет в зависимости от скорости, то ускорение будет уменьшаться. Когда оно обратится в нуль, получится предельная «установившаяся» скорость:
  (12).
Обратите внимание, что предельная скорость не зависит от массы, влияющей лишь на время установления движения.
Расчет коэффициента сопротивления сложен. Для шара радиусом ρ он был найден Стоксом:
  (13),
где  - коэффициент вязкости среды, окружающей шар.
Вязкость (внутреннее трение) - свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.
Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единичную площадку при градиенте скорости (в направлении, перпендикулярном к площадке), равном единице (1 м/с). В системе СИ коэффициент вязкости измеряется в Па·с.
При 20°С  коэффициент вязкости у воды η=10-3 Па•с, у глицерина 0,85 Па·с, при 30°С - 0,35 Па·с, для воздуха при 20°С  - 2 10-5 Па·с.
У жидкостей вязкость с увеличением температуры уменьшается (например, на графике изображена зависимость вязкости смазочных масел от температуры), у газов – растет.
На коэффициент сопротивления сильно влияют форма тела и его ориентация по отношению направлению скорости. В этом легко убедиться, бросая лист бумаги в разных положениях: 1) вертикальном, 2) горизонтальном, 3) в виде стрелки, 4) в виде комка неправильной формы.
Для приведения в движение твердого тела, соприкасающегося с другим твердым телом, нужна сила, превышающая некоторое наименьшее значение Fmiu. Если затем прекратить действие внешней силы, движение постепенно прекратится. Следовательно, трение существует и в первом и во втором случае. Его называют соответственно трением покоя и трением скольжения. Пока тело не сдвинулось с места, развивается сила трения покоя FTP, направленная против приложенной силы и равная ей по   абсолютному   значению.   Однако   FTP   не   может   превзойти некоторого значения Fmin. Когда сила F станет больше Fmin, тело начнет двигаться в направлении F, испытывая трение скольжения. Сила трения направлена против скорости и практически не зависит от ее значения (пока трущиеся поверхности заметно не нагреваются).
Согласно закону Амонтона-Кулона, сила трения скольжения пропорциональна прижимающей силе, но не зависит от поверхности  соприкосновения:
 (14),
где F1 - прижимающая сила, μ - коэффициент трения скольжения. Этот закон верен при неизменном состоянии соприкасающихся поверхностей, что трудно осуществить на практике; поэтому выполняется не очень точно.
Коэффициент трения скольжения μ легко определить: тело кладут на наклонную плоскость и увеличивают угол наклона по­следней, пока не начнется скольжение. При этом соскальзывание начинается при каком-то угле наклона ά, и коэффициент трения
 (15).
Обычно сила трения скольжения немного меньше, чем наибольшая сила трения покоя, но различие это невелико.
Довольно широко распро­странено представление о вред­ности трения, так как для его преодоления приходится совершать работу. Однако это пред­ставление слишком односторонне: ведь при отсутствии трения мы не могли бы двигаться по горизонтальной поверхности пуговицы не держались бы в петлях, чернила вытекали из ручек и т. д.
В конце 16-ого века Иоганн Кеплер, обрабатывая результаты астрономических наблюдений Тихона Браге, а также собственные результаты, нашел три кинематических закона движения планет:
1.  Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2.  Радиус-вектор, связанный с планетой, описывает в равные промежутки времени Δtравные площади ΔS (см. рис.).
3. Кубы больших полуосей эллипсов пропорциональны квадратам времени обращения планет:
.
В 1687 г. Ньютон опубликовал закон всемирного тяготения, объясняющий физический смысл законов Кеплера и обобщающий их. Так как эллиптичность большинства планетных орбит незначительна, то при выводе закона можно рассматривать вместо эллиптического движения круговое. В этом случае формулировка законов Кеплера упрощается: Солнце оказывается в центре круговой траектории, а второй закон Кеплера сведется к утверждению, что угловая скорость движения планеты по орбите постоянна. Третий закон примет вид:
где R - радиус орбиты, Т - период обращения планеты, С - константа для всех планет Солнечной системы.
Ньютон при определении центростремительного ускорения планет применяет второй и третий законы Кеплера:
.
В это время уже изучено движение Луны и спутников Юпитера, для них Ньютон получает:
, , т.е. для каждого случая постоянные различны (здесь Rл и Rю - радиусы орбит Луны и Юпитера соотвественно).
Ньютон делает гениальное предположение, что каждая из по стоянных зависит только от массы притягивающего тела. Согласно своему второму закону Ньютон находит, что во всех случаях движение вызывается центральной силой (направленной всегда к притягивающему телу), т.е. , где М и m— соответственно масса притягивающего и притягиваемого тела, R— расстояние между центрами тяжести тел, принимаемых за точки (что допустимо при громадном относительном удалении).
Если условиться, что радиус-вектор направлен из центра притягивающего тела, то закон всемирного тяготения Ньютона принимает вид:
Ньютон показал, что однородный шар создает во внешнем пространстве такую же силу, как материальная точка с массой, равной массе шара, расположенная в центре последнего. Считая Землю однородным шаром, он сравнил ускорение свободного падения у поверхности Земли и ускорение Луны, оказалось, что =, как и должно быть, так как расстояние» от Земли до Луны составляет 60 земных радиусов.
Действием силы тяготения со стороны Луны Ньютон объяснил возникновение приливов и отливов, в том числе их появление дважды в сутки (а не один раз).  Если допустить, что Земля покрыта равномерным слоем воды, как изображено на рисунке, то ускорение, сообщаемое Луной, в точках А, В, С различно: . Поэтому твердый земной шар с центром в точке В получит некоторое среднее ускорение: слой воды вблизи точки А - несколько большее, а слой воды вблизи точки С -  несколько меньшее. Слои воды вблизи точки А будут несколько опережать земной шар, а близкие к точке С — отставать от него. Поэтому на линии, соединяющей центры Земли и  Луны, образуются два водяных выступа (приливы), движущиеся вокруг Земли по мере ее вращения вокруг собственной оси (перемещения Луны мы для простоты не учитываем). В то же время на концах диаметра, перпендикулярного линии ЛС, уровень воды понизится (отливы). Очевидно, в каждой точке земного шара приливы должны происходить дважды в сутки (когда эта точка пересекает линию АС). Соответственно два раза в сутки должны происходить и отливы. Так как Луна перемещается, Земля не вся покрыта водой, существуют силы трения, силы Кориолиса и тяготение со стороны Солнца, то истинная картина приливов и отливов оказывается гораздо сложнее. В частности, утверждение, что наибольшие приливы будут наблюдаться вдоль линии АС, оказывается неточным. Но принцип объяснения приливов остается в силе.
В формулу (10) входит коэффициент пропорциональности. Его значение определил Кавендиш в 1795 г. при помощи крутильных весов. Его весы состояли из стержня с небольшими шариками массой тна концах, подвешенном на длинной упругой и тонкой нити в точке О, заметно закручивающейся уже под действием весьма малых сил. К стержню одновременно приближали два больших свинцовых шара массой М (до 150 кг); ось вращения шаров совпадала с точкой подвеса. Под действием силы тяготения стержень поворачивался, нить закручивалась. Измеряя угол закручивания, можно было рассчитать вращающий момент, испытываемый стержнем, и силу взаимодействия между ней и большими шарами. Зная массы, взаимодействующих шаров и расстояние между их центрами, можно было вычислить постоянную тяготения G. По современным, уточненным  со времен Кавендиша данным, .
Ускорение свободного падения на поверхности Земли равно , поэтому, зная гравитационную постоянную и радиус Земли, и считая Землю однородным шаром, можно найти ее массу. Масса Земли М3=6.1024 кг. Отсюда средняя плотность Земли  ρ=5500 кг/м3; это значение более чем вдвое превосходит среднюю плотность поверхностных слоев Земли, что позволяет предполагать наличие внутри Земли плотного ядра. По известным ускорениям планет определяют массу Солнца: Мс = 2.1030 кг ≈ 3.105 М3.
Изучение неправильностей в движении планет и спутников дает возможность оценить массы других небесных тел. Строго говоря, Солнце и планеты обращаются вокруг общего центра масс. Но так как масса Солнца много больше массы любой планеты, то центр масс системы лежит почти в центре масс Солнца, поэтому можно считать его непо­движным.
В настоящее время справедливость закона тяготения проверена вплоть до самых больших доступных астрономам расстояний. Замечательно, что силы тяготения не зависят от промежуточной среды (от действия силы тяготения нельзя избавиться) и от природы тяготеющих тел. Опытным путем доказано, что тяготение испытывают незаряженные элементарные частицы (опыты производились с пучком нейтронов) и частицы света - фотоны. Обнаружить на опыте тяготение заряженных частиц трудно, так как другие взаимодействия у них значительно сильнее, чем тяготение. Однако нет сомнений, что закон тяготения распространяется и на заряженные элементарные частицы.

Модели рассмотренных в данной теме процессов и явлений можно увидеть на сайте physics.nad.ru/
··· Вверх ···
Рецензенты: д-р пед. наук, профессор Медведев В.Е.(Мценский филиал ОГТУ, Мценск), к. ф-м. н., доцент Зайцев А.А.(ЕГУ, Елец).
Размещено по решению РИС ЕГУ им. И.А. Бунина (протокол номер 1 от 14 марта 2007 г.).
© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 2007 г.
© Авторы: Трофимова Елена Ивановна  , Федянин Сергей Владимирович