Назад . Вперед
Содержание
Предисловие
I. Основные теоретические сведения
1. Введение
2. Кинематика
3. Динамика материальной точки
4. Силы в природе
5. Законы сохранения в механике
6. Механика твердого тела
7. Механические колебания и волны
8. Гравитация
II. Дидактические материалы
1. Задания для самопроверки усвоения материала на репродуктивном уровне
2. Алгоритм решения задач по динамике
3. Примеры решения задач
4. Основная и дополнительная литература
III. Модели
Кинематика
Тема 6. Механика твердого тела
Следует отметить, что при вращательном движении тело обретает устойчивость, например, монета может катиться на ребре и не падать. Анализируя результаты опытов, можно прийти к следующему выводу: тело, вращающееся вокруг оси, проходящей через центр масс, должно сохранять вращение неопределенно долго при освобождении от внешних воздействий. Это заключение аналогично первому закону Ньютона для поступательного движения.
  Внешнее воздействие изменяют состояние движения. Рассмотрим схему следующего опыта. Крестовина насажена на ось со шкивом, радиус шкива можно менять. Можно также изменять расстояние от оси вращения до грузов массой М.  Гиря массой m привязана к нити, нить перекинута через неподвижный блок и соединена со шкивом. На данной установке можно наблюдать следующее: если масса гири не изменяется (т.е. приложенная к крестовине сила постоянна), то ускорение крестовины зависит : а) от положения грузов – если грузы удалять от оси вращения, то ускорение уменьшается, б) от радиуса шкива – чем больше радиус, тем больше ускорение.
Отдельные элементы вращающегося тела с массами dmi находятся на расстоянии ri от оси вращения и движутся с различными линейными скоростями vi, но угловая скорость ω у всех элементов одинакова.

Вычислим полную кинетическую энергию вращающегося тела:
   (1).
Величина I =ri2mi  (2) – величина зависящая от распределения масс относительно оси вращения, называется моментом инерции тела относительно данной оси. Она равна арифметической сумме элементарных моментов инерции относительно той же оси, т.е. по-другому можно записать I=Σri2mi  (3). Размерность момента инерции [ I ] = кг · м2.
Число осей вращения для каждого тела неопределенно велико, столь же много существует и моментов инерции (ни один из них е может равняться нулю, так как все элементарные моменты ri2mi положительны). Моменты осей, проходящие через центр масс, называются главными моментами инерции, они находятся методами интегрального исчисления, основные из них следующие: 
а)  для тонкостенного кругового цилиндра (диска) относительно оси ОО момент инерции I0=MR2  (4);
б)  для сплошного кругового цилиндра (диска) относительно оси ОО момент инерции    (5);
в)  для любого цилиндра (диска), если ось вращения АА проходит через центр масс перпендикулярно оси цилиндра  момент инерции   (6).
 Для шара момент инерции относительно любого диаметра   (7), где R – радиус шара, M – масса шара.
 Если ось вращения не проходит через центр масс, то момент инерции I относительно этой оси можно вычислить по формуле
I = I0 + Ma2  (8),
где а – расстояние от центра масс до оси вращения. Соотношение (8) называют теоремой Штейнера.

Пусть тело произвольной формы имеет ось вращения О (расположенную перпендикулярно плоскости чертежа), и на тело действует сила в плоскости, перпендикулярной оси. Проведем от оси до точки приложения силы радиус вектор R и разложим силу F на две составляющие: , действующую параллельно радиус-вектору, и  перпендикулярную к нему. Сила  изгибает ось, но не создает вращения. Мы пренебрежем деформацией и далее не будем рассматривать эту составляющую. Модуль силы , как видно из рисунка, равен F2=Fsinα. Сила F2 будет создавать вращение и сообщать телу угловое ускорение
. Если взять малое перемещение dS =r·dφ , где - угловое перемещение, то сила F2 совершит элементарную работу
dA = F2dS = F2 R dφ= [dφ = ωdt]   = FR ω dt   (9).
Но работа равна изменению кинетической энергии, т.е.
FR ω dt =  = Iωdω.
.
Согласно определению F·R = M (момент силы) ,  следовательно,
M = I· ε  (10).
 Это основное уравнение динамики вращательного движения. Сравнивая его с уравнением   , видим, что момент инерции играет роль массы при вращательном движении: чем больше момент инерции I, тем меньше угловое ускорение ε.
 Для материальной точки, введя импульс, мы получали соответственно
  (11).
Аналогично для вращающегося тела можно вывести уравнение
  (12),
показывающее, момент внешних сил изменяет момент механического импульса во времени. Величина   (13) называется моментом механического импульса.
Итак, можно провести аналогию между поступательным и вращательным движением.

Сравнительные параметры движения:
Поступательное движение Вращательное движение
Перемещение  S Угловое перемещение φ
Линейная скорость v Угловая скорость ω
Ускорение a Угловое ускорение ε
Масса m Момент инерции I
Сила F Момент силы M
Импульс p Момент импульса L

В замкнутой системе момент внешних сил отсутствует. Из уравнения (12) следует, что
=const (14).
Это важное соотношение выражает третий закон сохранения в механике – закон сохранения момента механического импульса.
 Закон сохранения момента импульса можно проверить с помощью скамьи Жуковского (диск, который может вращаться без заметного трения вокруг вертикальной оси). Экспериментатору сообщают известный момент механического импульса , где I1 – момент инерции экспериментатора вместе со скамейкой и грузами. Если он прижимает руки к туловищу, то за счет действия внутренних сил момент инерции уменьшается. Внутренние силы не могут изменить момент импульса, следовательно, для его сохранения скорость вращения ω2 должна возрасти. Таким образом
I1ω1 = I2ω2.
Закон сохранения момента механического импульса выполняется и для случая произвольного вращения в замкнутой системе (т.е. не только в том случае, когда ось вращения неподвижна).
   Рассмотрим частный случай  вращательного движения – рычаг. Рычагом называется твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения и подверженное действию не менее двух моментов внешних сил. Рычаг находится в равновесии в случае, когда моменты сил равны  и направлены в разные стороны, т.е. М1 = М2  или   F1a = F2b.
Обобщая условия равновесия рычага, можно уточнить условия движения свободного  твердого тела в частном случае, когда все действующие на него внешние силы лежат в одной плоскости.
Если сумма сил отлична от нуля и ее равнодействующая проходит через центр масс, то тело движется поступательно. Если сумма моментов сил относительно центра масс не равна нулю, то тело приходит во вращательное движение.
 Таким образом, тело будет находиться в равновесии, если сумма моментов действующих на него сил равна нулю.
 Различают следующие виды равновесия; если тело сместить немного из положения равновесия и предоставить самому себе, то:
а)  оно может самопроизвольно возвратится в положение равновесия (устойчивое равновесие);
б) остаться в новом положении (безразличное равновесие);
в) отходит от положения равновесия (неустойчивое равновесие).

Модели рассмотренных в данной теме процессов и явлений можно увидеть на сайте physics.nad.ru/
··· Вверх ···
Рецензенты: д-р пед. наук, профессор Медведев В.Е.(Мценский филиал ОГТУ, Мценск), к. ф-м. н., доцент Зайцев А.А.(ЕГУ, Елец).
Размещено по решению РИС ЕГУ им. И.А. Бунина (протокол номер 1 от 14 марта 2007 г.).
© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 2007 г.
© Авторы: Трофимова Елена Ивановна  , Федянин Сергей Владимирович