Назад . Вперед
Содержание
Предисловие
I. Основные теоретические сведения
1. Введение
2. Кинематика
3. Динамика материальной точки
4. Силы в природе
5. Законы сохранения в механике
6. Механика твердого тела
7. Механические колебания и волны
8. Гравитация
II. Дидактические материалы
1. Задания для самопроверки усвоения материала на репродуктивном уровне
2. Алгоритм решения задач по динамике
3. Примеры решения задач
4. Основная и дополнительная литература
III. Модели
Кинематика
Тема 1. Кинематика
Системы отсчета и описание движения
Поступательное движение. Скорость. Ускорение
Вращательное движение и величины, его характеризующие
Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение
Классификация движений
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Преобразования Галилея


Механическое движение - процесс изменения положения тела или его частей по отношению к другим телам или друг другу.
Для описания механического движения необходимо указать тело, относительно которого рассматривается движение.
Произвольно выбранное неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела, называется телом отсчета.
Связанная с телом отсчета произвольная система координат называется системой отсчета. Чаще всего используют декартову прямоугольную систему. Положение точки однозначно определяется 3-мя координатами М (х, у, z).
(1)
Эти уравнения являются уравнениями движения материальной точки. Совокупность последовательных положений точки М в процессе ее движения называется траекторией движения точки.
Для определения уравнения траектории необходимо исключить из уравнения  время. С точки зрения кинематики никакого различия между разными системами отсчета нет, они все совершенно равноценны.
Простейшим видом механического движения абсолютно твердого тела является поступательное движение - такое движение, при котором тело перемещается параллельно самому себе. При поступательном движении твердого тела все его точки имеют одинаковые скорости и ускорения и описывают одинаковые траектории, смещенные относительно друг друга.
Поступательное движение абсолютно твердого тела может быть охарактеризовано движением какой-либо одной его точки, например, центра масс. Для характеристики поступательного движения тела (материальной точка) вводится понятие перемещения.
Перемещением называется вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Если положение точки в декартовой системе координат задано радиус-вектором, то перемещение можно определить как разность радиус-векторов  (2), характеризующих конечное (2) и начальное (1) положения точки, движущейся в течение промежутка  времени  Δt = t2 - t1 . Проекции вектора перемещения на координатные оси 0Х, 0У, 0Z 
Δrx = x2 – x1 =  Δx
Δry = y2 – y1 =  Δy
Δrz = z2 – z1 =  Δz

Δx, Δy, Δz – перемещение точки вдоль соответствующих осей.
В общем случае перемещение не совпадает с траекторией движения. Достаточно малое перемещение, которое с определенной степенью точности можно считать совпадающим с соответствующим участком траектории, называется элементарным перемещением . Расстояние, пройденное телом при его движении по траектории, равно пути S. Путь - величина скалярная. В частных случаях перемещение и путь могут совпадать.
Мгновенная линейная скорость - физическая величина, равная пределу отношения элементарного перемещения к промежутку времени  Δt,  в течение которого совершается это перемещение, при  :
(3)
Мгновенная скорость - векторная величина, имеющая тоже направление, что и касательная к траектории, т.к. вектор мгновенной скорости  совпадает с вектором достаточно малого перемещения  за достаточно малое время . Мгновенная скорость численно равна первой производной от перемещения по времени. Средняя скорость за промежуток времени Δt=t2-t1  – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения  к длительности промежутка времени Δt:  
(4)
Средняя скалярная (путевая) скорость - физическая величина, определяемая отношением пути S, пройденного точкой за промежуток времени Δt к длительности этого промежутка:
(5)
Из (3) следует, что , . Величину пройденного точкой пути можно представить графически площадью фигуры ограниченной кривой  v=f(t),прямыми  t = t1 и t = tи осью времени на графике скорости.
При движении точки мгновенная скорость может меняться как по величине, так и по направлению. При этом вектор  при  стремится к некоторому пределу, называемому ускорением:   (6).
Т.о., ускорение - векторная величина, характеризующая изменение скорости в единицу времени, численно равная первой производной от мгновенной скорости по времени или второй производной от перемещения по времени.
В общем случае ускорение не совпадает по направлению с вектором скорости. Вектор ускорения а может быть представлен в виде 2-х взаимно перпендикулярных векторов: аn нормальное ускорение, аt– тангенциальное ускорение. Вектор тангенциального ускорения аt направлен по касательной к траектории движения и определяет изменение модуля скорости. Вектор нормального ускорения направлен по нормали к траектории (т.е. к центру кривизны) и определяет изменение направления вектора скорости.  
Как видно из рисунка, полное ускорение    (7) Численное значение полного ускорения   (8).
Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение абсолютно твердого тела. При таком движении его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат на одном прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения.
Вращательное движение тела или точки характеризуется углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением.
 Угол поворота φ - это угол между двумя последовательными положениями радиуса вектора r, соединяющего тело или материальную точку с осью вращения. Угловое перемещение измеряется в радианах.
Угловая скорость  - векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени и численно равная первой производной от угла поворота по времени, т.е.   (9). Направление вектора угловой скорости   совпадает с направлением вектора углового перемещения, т.е. вектора, численно равного углу φ и параллельного оси вращения; оно определяется по правилу буравчика: если совместить ось буравчика с осью вращения и поворачивать его в сторону движения вращающейся точки, то направление поступательного перемещения буравчика определит направление вектора угловой скорости. Точка приложения вектора произвольна, это может быть любая точка плоскости, в которой лежит траектория движения. Удобно совмещать этот вектор с осью вращения.
При равномерном вращении численное значение угловой скорости не меняется, т.е. ω = const. Равномерное вращение характеризуется:

- периодом вращения Т, т.е. временем, за которое тело делает один полный оборот, период обращения измеряется в с;
- частотой , измеряемой в Гц и показывающей число оборотов в с;
- круговой (циклической,угловой) частотой  (это та же самая угловая скорость).
Угловая скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Векторная величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени и численно равная второй производной от углового перемещения по времени, называется угловым ускорением:   (10).
Если положение и радиус окружности, по которой происходит вращение не изменяется со временем, то направление векторов углового ускорения и угловой скорости совпадают, если вращение ускоренное, и противоположны, если вращение замедленное.
При равномерном движении по окружности тангенциальная составляющая ускорения равна нулю, т.е. модуль линейной скорости постоянен и определяется соотношением . Но т.к. направление скорости постоянно изменяется, то существует нормальное ускорение    (11). Т.о., линейная скорость направлена по касательной к окружности в каждой точке по движению; ускорение  перпендикулярно скорости и направлено к центру кривизны.
Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v, которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от угловой скорости ω и расстояния r соответствующей точки до оси вращения.  Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ΔS = rΔφ. Поделим обе части равенства на Δt : . Переходя к пределам при , получим , или, согласно (3) и (9),   (12).
Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. По определению ускорения, , или, с учетом (10) и (12),
(13)
Для  из формулы (11) с учетом (12) можно получить:   (14)
Из (12)(14) видно, что значения линейной скорости, тангенциального и нормального ускорений растут по мере удаления от оси вращения. Формула (12) устанавливает связь между модулями векторов v, r, ω,  которые перпендикулярны друг к другу.
Для классификаций движений воспользуемся формулой  полного ускорения, записанной в виде:
(*).
1) аt=0, an=0, т.е. - равномерное прямолинейное движение.
Т.к. , то . (Записать формулы для проекций, построить графики).

2) аt=const, an=0 – равноускоренное прямолинейное движение.
Т.к. , интегрируем , или .  При  получим . (Записать формулы для проекций, построить графики).

3) . Следовательно, . Это неравномерное (ускоренное) прямолинейное движение.

4) аt=0,an=f(t) – криволинейное движение с постоянной скоростью.

5) аt=0, an=const, т.е. v = const, из формулы  следует, что R = const – движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.
Для вращательного движения  с постоянным угловым ускорением расчетные формулы можно записать по аналогии с формулами равноускоренного прямолинейного движения.
В качестве сложного движения рассмотрим движение точечной массы, брошенной под углом a к горизонту со скоростью v0.
В этом случае точка одновременно движется равномерно со скоростью vox вдоль оси Х и равноускоренно с начальной скоростью v0y вдоль оси У.
Уравнения движения в координатной форме имеют вид:

. Для нахождения уравнения траектории движения необходимо из системы  уравнений исключить время, получим:
.
Полученное выражение представляет собой уравнение параболы . Все записанное справедливо, если отсутствует или достаточно мало сопротивление среды, в которой движется материальная точка.
Таким образом, наибольшая дальность полета в отсутствии сил сопротивления наблюдается при движении тела под углом в 45° к горизонту.
Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела важны потому,  что любое движение твердого тела сводится к ним. Еще один вид сложного движения - колебательное, рассмотрим в конце курса механики.
Для описания поступательного движения достаточно знать законы изменения со временем трех координат материальной точки. В соответствии с этим говорят, что поступательно движущееся тело имеет три степени свободы. Если движение тела происходит в плоскости, то достаточно знать законы изменения двух координат. Если тело движется вдоль заданной кривой, до достаточно и одной координаты.
Любое вращательное движение можно описать тремя вращениями вокруг трех перпендикулярных осей. Т.о., твердое тело имеет максимум 6 степеней свободы, т.е. для описания его движения нужно задать 6 независимых уравнений.
При исследовании движения приходится переходить от одной системы отсчета (с координатной системой XOYZ) к другой системе отсчета с координатной системой XOYZ’, движущейся относительной первой прямолинейно и равномерно со скоростью . Предположим, что соответствующие оси обеих координатных систем параллельны друг другу, и что скорость  направлена вдоль оси OX и в начальный момент времени начала координат обеих систем совпадали друг с другом. Найдем соотношения, связывающие координаты некоторой точки (xyz и xyz’) в обеих системах:
(15)
Эти соотношения   (15) называются преобразованиями координат Галилея, и при их записи сделано еще одно важное допущение: время в обеих системах течет одинаково, т.е. t=t’. Продифференцировав последнее равенство, получим:
  (16), второе дифференцирование дает .
Т.о., если известны положение и скорость точки в одной системе, то можно определить ее положение и скорость в другой системе. Ускорение одинаково в обеих системах отсчета. Равенство   (16) называется преобразованиями скоростей Галилея. Однако полностью смысл преобразований Галилея будет выяснен позднее, при изучении специальной теории относительности.
Формула   (16) представляет собой закон сложения скоростей. Проиллюстрируем его на примере решения следующей задачи.

Модели рассмотренных в данной теме процессов и явлений можно увидеть на сайте physics.nad.ru/
··· Вверх ···
Рецензенты: д-р пед. наук, профессор Медведев В.Е.(Мценский филиал ОГТУ, Мценск), к. ф-м. н., доцент Зайцев А.А.(ЕГУ, Елец).
Размещено по решению РИС ЕГУ им. И.А. Бунина (протокол номер 1 от 14 марта 2007 г.).
© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 2007 г.
© Авторы: Трофимова Елена Ивановна  , Федянин Сергей Владимирович