Назад . Вперед
Содержание
Предисловие
I. Основные теоретические сведения
1. Введение
2. Кинематика
3. Динамика материальной точки
4. Силы в природе
5. Законы сохранения в механике
6. Механика твердого тела
7. Механические колебания и волны
8. Гравитация
II. Дидактические материалы
1. Задания для самопроверки усвоения материала на репродуктивном уровне
2. Алгоритм решения задач по динамике
3. Примеры решения задач
4. Основная и дополнительная литература
III. Модели
Кинематика
Тема 8. Гравитация
Поле тяготения
Космические скорости. Спутники



Согласно закону всемирного тяготения, любые две материальные точки массами , находящиеся на расстоянии R друг от друга, притягиваются друг к другу с силой     (1). По современным представлениям, это взаимодействие осуществляется с помощью гравитационного поля (или поля тяготения) – особой формы материи.
Поле тяготения распределено в пространстве непрерывно. Если в произвольную точку пространства поместить «пробное тело» - материальную точку массой, заметно не искажающую существующего поля, и измерить силу F, испытываемую этим пробным телом, то рассматриваемую точку поля можно охарактери­зовать векторной величиной - напряженностью поля Г, определяе­мой уравнением:   (2). Т.о., напряженность характеризует силу, испытываемую единичной массой в данной точке поля.
Гравитационные поля нескольких материальных тел обладают тем свойством, что их взаимодействие с любым иным телом опреде­ляется геометрической суммой сил, создаваемых каждым полем, т.е. выполняет принцип суперпозиции сил.
Напряженность поля, создаваемого точечной массой M на расстоянии R от нее, равна:    (3). В поле можно провести кривую, касательная к которой в каждой точке параллельна направлению вектора напряженности в данной точке; такая кривая называется линией напряженности. Для поля, созданного точечной массой, линии напряженности представляют собой радиусы, проведенные из этой точки. По определению, направление линий напряженности считается совпадающим с направлением вектора напряженности. Все линии напряженности поля тяготения начинаются в бесконечности и кончаются в точках, создающих поле.
Если проводить через каждый элемент поверхности, нормальный к вектору напряженности, число линий, пропорциональное ее значению, то получится удобный графический способ представления поля: оно тем сильнее, чем гуще располагаются линии напряженности.
Очевидно, что если силы подчиняются принципу суперпозиции, то это относится и к напряженностям: напряженность поля нескольких источников находится векторным суммированием напряженностей в каждой точке поля:    (4). Скалярная величина   (5) называется потоком вектора напря­женности через элемент площади, характеризуемый вектором dS, нормальным к элементу, причем длина нормали численно равна площади. Выбор положительного направления вектора  произволен. Если же в поле выделяется объем, охваченный некоторой замкнутой поверхностью, то за положительное направление  принимается направление внешней нормали. Поток считают положительным, когда линии напряженности выходят наружу из выделенного объема, ограниченного рассматриваемой поверхностью.
Окружим точечную массу  М шаровой поверхностью S радиусом R с центром в точке М, как показано на рисунке. Поток вектора напряженности в
этом случае равен:
  (6),
т.к. векторы  везде противоположны друг другу. Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность определяет число линий напряженности, пронизывающих эту поверхность.
Построим теперь произвольную замкнутую поверхность S1, охватывающую точку М и ранее построенную шаровую поверхность. Из рисунка видно, что поток через обе поверхности одинаков, так как все линии, пронизывающие поверхность S, пройдут и через поверхность  S1.
Если внутри поверхности имеется несколько масс, то создаваемые ими напряженности в каждой точке суммируются векторно, а потоки через поверхности -  скалярно. Массы, расположенные вне замкнутой поверхности, дадут через нее нулевой поток; однако
они создадут в каждой точке внутри поверхности некоторую напряженность поля. Все указанные свойства потока объединяются в одной из важнейших теорем поля, принадлежащей Остроградскому и Гауссу: если в поле, создаваемом многими источниками Mi, выделить произвольную замкнутую поверхность S, то поток вектора напряженности через эту поверхность равен:
  (7),
где в сумму входят только источники, расположенные внутри поверхности.
Эта теорема позволяет легко находить напряженность поля при симметричном расположении материальных тел. Например, однородный шар или шаровой слой массой М создают во внешнем пространстве такое же поле, как точечная масса, помещенная в центре шара или шарового слоя.
Найдем напряженность поля в полости, охваченной шаровым слоем радиусами R1 и R2 в произвольной точке А (рисунок). На сфере радиусом r, проходящей через точку А, напряженность поля  должна быть везде одинакова по модулю. Применяя к этой сфере теорему Остроградского-Гаусса,  получим: , т.к. сфера не охватывает никаких масс, т.е. =0. Следовательно, шаровой слой не создает поля в области, внутренней по отношению к нему.
Найдем напряженность поля внутри однородного шара массой М и радиусом R2. Опять выберем произвольную точку B, отстоящую от центра на расстоянии r, проведем через эту точку шаровую поверхность. Применяя к ней теорему Остроградского-Гаусса, получим: , где М1 – масса, охваченная сферой радиусом r. Т.к. отношение масс всего шара М и выделенной его части М1 пропорционально отношению кубов радиусов:   (*), а модуль напряженности выделенной поверхности во всех точках из-за симметрии поля одинаков, то по теореме (подставляем площадь в левую часть) получим: , отсюда   или, с учетом (*), напряженность , т.е. зависит от расстояния r от центра шара. Полученные результаты изображены на графиках.  

Рассмотрим космические скорости. Ранее мы выяснили, что в поле тяготения, создаваемом телом, массой М, тело массой m, будет обладать потенциальной энергией   (8). Будем считать систему замкнутой. Тогда полная энергия  тела массой m складывается из кинетической и потенциальной энергии    (9).
 Исследуем возможные траектории космических кораблей, запускаемых с Земли. При этом не будем учитывать сопротивление земной атмосферы,  и влияние Луны и других планет солнечной системы.
Полная энергия корабля при запуске складывается из кинетической энергии , потенциальной энергии, относительно Земли , потенциальной энергии относительно Солнца , т.е    (10).

Массы и радиусы Солнца и Земли равны:
Rc= 7·108 м Rз = 6,4·106 м Мc = 2·1030 кг Мз = 6·1024 кг
 
 У поверхности Земли , следовательно,  и после подстановки численных значений выражение (10) можно привести к виду:   (11).

При этом могут быть следующие случаи:
1)  Если W > 0, т.е. , , то тело может уйти за пределы солнечной системы (напомним, что за нулевой уровень потенциальной энергии мы выбрали энергию при ).
 Это третья космическая скорость. Если начальную скорость корабля сонаправить со скоростью движения  Земли вокруг Солнца (29,5 км/с), то необходимая дополнительная скорость относительно Земли составит 13,5 км/с.

2)  Если энергия полная энергия W в выражении (10) меньше нуля, а полная энергия корабля относительно Земли , то корабль уйдет из области земного притяжения, и будет обращаться вокруг солнца. Для этого скорость (относительно Земли) должна быть не менее 11,2 км/с (вторая космическая скорость)

3)  Если скорость мала, то корабль не может уйти из сферы притяжения Земли, поэтому притяжение Солнца можно не учитывать, т.е.  - первая космическая скорость. 

Корабль запускается из точки отстоящий на расстоянии (Rз + h) от точки центра Земли М. Начальная скорость  во всех случаях перпендикулярна радиус-вектору. Для эллиптической траектории W < 0, для параллельной W = 0, для гиперболы W > 0. На самом деле Земля не точка, а шар, поэтому, если большая полуось эллипса а<(Rз + h), то траектория пересечется с Землей. При очень малых дугах (когда скорость υ мала) эллипс  практически не отличим от параболы, поэтому, рассматривая движение тела, брошенного под углом к горизонту,  мы получаем параболическую траекторию.
 В заключении уточним понятие массы. Во втором законе Ньютона  масса выступает как мера инерции, и будем называть ее инертной массой mи. В законе всемирного тяготения сила определяется массой взаимодействующих тел, назовем их гравитационными массами mг. Инертные массы, вообще говоря, могут не совпадать с гравитационными. Вопрос о соотношении между ними может быть решен только опытным путем. Первые опыты такого рода проводил Галилей, бросая тела различной массы с высокой башни и вычисляя их ускорение. Он сделал вывод о постоянстве ускорения свободного падения для вех тел. Его опыты можно трактовать так: силы тяготения между телом и землей пропорционально произведению их масс F~mГ·MГ.
g~~  т.к. g=const, то и
 Опыты Галилея весьма неточны. В настоящее время равенство гравитационной и инертной масс подтверждены с точностью до 10-12 . Интересно: равенство инертной и гравитационной масс положено в качестве постулата в основу теории относительности.

Модели рассмотренных в данной теме процессов и явлений можно увидеть на сайте physics.nad.ru/
··· Вверх ···
Рецензенты: д-р пед. наук, профессор Медведев В.Е.(Мценский филиал ОГТУ, Мценск), к. ф-м. н., доцент Зайцев А.А.(ЕГУ, Елец).
Размещено по решению РИС ЕГУ им. И.А. Бунина (протокол номер 1 от 14 марта 2007 г.).
© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 2007 г.
© Авторы: Трофимова Елена Ивановна  , Федянин Сергей Владимирович