Назад . Вперед
Содержание
Предисловие
I. Основные теоретические сведения
1. Введение
2. Кинематика
3. Динамика материальной точки
4. Силы в природе
5. Законы сохранения в механике
6. Механика твердого тела
7. Механические колебания и волны
8. Гравитация
II. Дидактические материалы
1. Задания для самопроверки усвоения материала на репродуктивном уровне
2. Алгоритм решения задач по динамике
3. Примеры решения задач
4. Основная и дополнительная литература
III. Модели
Кинематика
Тема 5. Законы сохранения в механике
Работа и мощность
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия
Закон сохранения импульса

Согласно второму закону Ньютона, непосредственным результатом действия силы на тело является ускорение. Чтобы описать результат действия силы за конечный промежуток времени, вводится понятие работы силы. Работой силы , действующей на материальную точку массой m при перемещении последней на , называют физическую величину, равную скалярному произведению силы на перемещение   (1). Единица работы [A]=1Н·1м = 1Дж – работа, совершаемая силой в 1 Н при перемещении на 1 м вдоль направления действия силы.
Если на тело действует переменная сила, то для вычисления работы перемещение разбивают на малые участки и находят сначала элементарную работу на каждом участке , а затем работу за конечный промежуток времени:   (2).
Графически работа определяется как площадь криволинейной трапеции, покажем это на рисунке.  По оси абсцисс в выбранном масштабе откладывают модули перемещения, по оси ординат – проекции силы на вектор перемещения , тогда площадь трапеции численно равна работе силы.
Часто бывает важным знать не только работу, но и время, в течение которого совершалась данная работа. Для этого вводится еще одна величина – мощность, характеризующая быстроту совершения работы. .
Т.к. , то работу можно представить в виде , где скалярная величина
   (3).
определяет работу в единицу времени и называется мощностью, - угол между векторами силы и скорости.
Мощность – это отношение работы А к интервалу времени, в течение которого она совершается:   (4), в СИ мощность выражается в Вт. Мощность равна 1 Вт, если работа 1 Дж совершается за 1 с. Часто используемые кратные единицы мощности:
1 гВт  (гектоватт) = 100 Вт,
1 кВт (киловатт) = 1000 Вт
1 МВт (мегаватт) = 1 000 000 Вт.
До сих пор в технике часто применяется такая внесистемная единица мощности, как лошадиная сила, 1 л.с. прибл. равно 735 Вт.
Рассмотрим случай, когда на тело действует постоянная сила, направление которой совпадает с направлением перемещения (т.е. cosα>=1). Подставим в (1) выражение для силы F=ma и перемещения , получим  (5). Величину     называют кинетической энергий, а выражение (5) представляет собой теорему о кинетической энергии, т.е. A=Ek2-Ek1  (6). Теорема о кинетической энергии справедлива для сил любой природы, в том числе и для переменных сил. Если на тело действует несколько сил, то подразумевается работа их векторной суммы. Кинетической энергией обладают не только тела, движущиеся поступательно, но и тела, совершающие вращательное движение.
Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме кинетических энергий его отдельных частей: . Т.к. угловые скорости у каждой точки вращающегося твердого тела одинаковы, то , т.е. , где величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инерции тела относительно оси вращения, т.е. формулу для кинетической энергии вращающегося тела можно записать в виде   (7).
В практике часто встречаются случаи, когда тело вращается и одновременно перемещается в плоскости, перпендикулярной оси вращения (т.е. совершает движение, которое называется плоским). Например, движение колеса автомобиля, качение цилиндра или шара по плоскости является плоским движением. Полная кинетическая энергия тела в этом случае равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс
  (8),
где I – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Из теоремы о кинетической энергии следует, что работа силы определяется разностью конечного и начального  значений кинетической энергии. При этом кинетическая энергия зависит только от состояния движения тела, т.е. его скорости, но не зависит от характера процесса, с помощью которого тело начало двигаться с данной скоростью.
Потенциальной энергий взаимодействующих тел называется энергия, зависящая от взаимного расположения этих тел или частей тела.
Рассмотрим невесомую горизонтальную пружину жесткости k, один конец которой закреплен, а к другому прикреплено тело массой   m  и приложена сила , растянувшая пружину на x0. Когда конец пружины совершит перемещение x, то возникнет упругая сила . Второй закон Ньютона будет иметь вид
, выразим F, получим:  или   . Умножим обе части последней формулы на :
 , после упрощения проинтегрируем полученное выражение:
  (9).
В данном случае в результате совершения работы изменяется не только кинетическая энергия тела, массой m,  но и форма пружины, что учитывается вторым слагаемым, представляющим собой изменение потенциальной энергии (энергия деформации). Потенциальная энергия также является функцией состояния
  (10).
 Может быть такая ситуация, когда изменение кинетической энергии очень мало, тогда основную роль при совершении работы будет играть изменение потенциальной энергии.
 Рассмотрим работу, совершаемую силой тяжести. Можно показать, что работа силы тяжести, которая действует на тело, изменяющая высоту, не зависит от формы траектории, а зависит только от начальной и конечной координаты тела.
Если тело перемещается по траектории  AA1, то работа равна:
A1 =mgScosα = mg (h3 – h1)
Если по ломаной A1KA2, то работа равна:
A2 = mgS2cosα2 + mgS1cosα1 = mg (h2 – h3) +mg (h1 – h2) = mg (h3 – h1)
Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением точки, называются консервативными. Консервативной является не только сила, действующая у поверхности Земли (то есть частный случай силы всемирного тяготения), но  вообще сила тяготения
  Работа этой силы определяется выражением
    (11).
т.е. результат округляется значениями радиус-векторов начальной и конечной точек.
  Т.о. потенциальная энергия тела в поле тяжести
Ep = mgh + const   (12).
 Потенциальная энергия в поле тяготения
  (13).
Потенциальная энергия деформированной пружины
  (14).
Очевидно, что потенциальная энергия является функцией координат точек, в которых расположены взаимодействующие тела, и значение произвольной постоянной в   (12)(14) зависит от выбора нулевого уровня потенциальной энергии.
 Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия в ней сохраняется, т.е.
Em = Ep + Ek = const  (15).

 В общем случае  A = Δ(Ep + Ek) = ΔEm  (16).
Рассмотрим систему взаимодействующих материальных точек массами   m1, m2, …, mk и силы их взаимодействия ( ) между собой назовем внутренними силами. По третьему закону Ньютона силы  взаимодействующих тел равны по модулю и противоположны по направлению, например . Кроме того, на систему могут действовать внешние силы, обусловленные взаимодействием точек системы  с точками, не входящими в систему. Выбор внутренних и внешних сил произволен. Например, можно рассматривать движение земли и солнца как единой системы, тогда силы их притяжения друг к другу - внутренние. Но можно изучать только движение Земли. Тогда притяжение ее Солнцем – внутренняя сила, а притяжение Солнца Землей вообще не рассматривается.
Если в систему включить все взаимодействующие материальные точки, то она называется замкнутой. Замкнутая система – это идеализация, любая реальная система тел испытывает внешние воздействия. Поэтому система рассматривается как замкнутая с той или иной степенью точности в зависимости от условий решаемой задачи.
  Под действием сил импульс каждой точки изменяется по второму закону Ньютона. Можно записать
  (17),
где  – сумма внешних сил, действующих на точку массой mi. Просуммируем выражение   (17), учитывая, что сумма внутренних сил равна нулю.
=  (18),
 где  - полный механический импульс системы.
 Полный механический импульс можно представить как произведение массы всей системы  некоторую скорость , определяемую условием
  (19).
  Полный импульс системы  можно приписать точке, называемой центром масс или центром инерции, в которой сосредоточена вся масса системы. Радиус вектор центра масс определяется из условия .
  Если нас интересует движение системы в целом, то удобно связать начало координат с центром масс. Уравнение   (19) показывает, что  движение центра масс может быть изменено только действием внешних сил. Если система замкнута, то
     и        (20),
т.е. полный импульс замкнутой системы сохраняется неизменным, а центр масс движется равномерно и прямолинейно.

Модели рассмотренных в данной теме процессов и явлений можно увидеть на сайте physics.nad.ru/
··· Вверх ···
Рецензенты: д-р пед. наук, профессор Медведев В.Е.(Мценский филиал ОГТУ, Мценск), к. ф-м. н., доцент Зайцев А.А.(ЕГУ, Елец).
Размещено по решению РИС ЕГУ им. И.А. Бунина (протокол номер 1 от 14 марта 2007 г.).
© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 2007 г.
© Авторы: Трофимова Елена Ивановна  , Федянин Сергей Владимирович