Задача 1.Тело бросили горизонтально с высоты 20 м. Найдите начальную скорость тела, если дальность полета равна 60 м.

Решение. В условии задачи высота представляет собой проекцию перемещения на ось OY, т.е. S_y=20 м, дальность полета – проекцию перемещения на ось OX, т.е. S_x=60 м.

Т.к. тело движется с постоянным ускорением, можно использовать уравнение

  (1). Спроецировав уравнение (1) на горизонтальную ось, получим (учитывая, что проекция вектора ускорения свободного падения на данную ось равна нулю, т.е. g_x=0):

  (2)

Задача 1. Найти силы натяжения нитей в устройстве с подвижным блоком, изображенного на рисунке. Масса тел m₁ = 4 кг,  m₂ = 3 кг.  Массой нитей и блоков пренебречь.

Решение. С учетом того, что двойной блок дает выигрыш в силе в два раза, а ускорение левого груза в  раза больше (проигрыш в расстоянии), система уравнений в векторной форме для каждого из грузов будет иметь вид:

.

Задача 2. Конус с углом раствора 2α  вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. В конусе находится шарик  массой m, прикрепленной к внутренней поверхности конуса с помощью нити. Радиус окружности,  по которой вращается шарик, равен R. Найти силу натяжения нити и силу давления шарика на конус. Трение не учитывать.

Решение. На шарик действуют сила тяжести, направленная вниз, сила реакции опоры, направленная перпендикулярно внутренней поверхности конуса и сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Из-за вращения конуса шарик описывает окружность радиуса R, соответственно центростремительное ускорение направлено к центру данной окружности. Уравнение второго закона Ньютона для данного случая имеет вид:

.

Спроецируем это уравнение на координатные оси, показанные на рисунке:

.

Задача 1. Какую силу надо приложить к латунной проволоке длиной 3 м и площадью сечения 1 мм² для ее удлинения на 1,5 мм.

Решение.  Связи силы с деформацией растяжения выражает закон Гука . Коэффициент k можно найти, зная размеры проволоки и значение модуля Юнга для латуни (это табличная величина, модуль Юнга Е=10¹¹ Па). Получаем: , F=50 Н.

Задача 2. Возле кольца из тонкой медной проволоки, радиусом r=1 мм, на его оси, на расстоянии l=5 см от центра кольца расположен шарик массой m=2 г. Радиус кольца R=20 см. Найти силу, с которой кольцо притягивает шарик.

Решение. Закон всемирного тяготения сформулирован для материальных точек. В данной задаче за материальную точку можно принять шарик, тогда как кольцо необходимо разбить на отдельные элементы dl_iс массами m_i. Возьмем точку, находящуюся, например, на вершине кольца. Шарик притягивается этой точкой с силой , направленной, как показано на рисунке. Если разложить элементарные силы F_i на составляющие,  одна из которых параллельна оси кольца, а вторая перпендикулярна, то перпендикулярные составляющие для любых двух элементов, находящихся на противоположных концах диаметра, уничтожаются, а параллельные составляющие складываются. Тогда сумма параллельных составляющих , или , или окончательно . Вычисления дают

Задача 1.  Шарик массой m упал с высоты  h на стальную плиту и отскочил вверх в результате абсолютно упругого удара. Найти изменение импульса шарика.

Решение. В задаче требуется найти изменение импульса   (6) Напомним, что изменение любой величины – это разность между ее конечным и начальным значением). Из чертежа видно, что в момент перед ударом импульс направлен вниз, а в момент после удара импульс направлен вверх. Поэтому, спроецировав уравнение (6) на ось OY, получим:

Задача 1. Человек массой m=60 кг находится на неподвижной платформе,   массой  M=100 кг. Какова будет частота вращения платформы n, человек будет двигаться по окружности радиусом r=5 м вокруг оси вращения со скоростью v=4 км/ч относительно платформы. Радиус платформы R=10 м. Считать платформу однородным диском, а человека точечной массой.

Решение: частота вращения связана с угловой скоростью соотношением    (8), где- угловая скорость платформы.  Т.к. на платформу не действуют внешние силы, то выполняется закон сохранения момента импульса:   (9), где угловая скорость человека , момент его инерции , момент инерции платформы . Подставим все значения в уравнение (9) и выразим угловую скорость платформы: . Подставив значение угловой скорости в (8), окончательно найдем: , численное значение

Задача 2. Груз массой m=2 кг привязан к концу шнура, намотанного на барабан радиусом R=20 см. Груз опускается с ускорением a=3м/с². Определите момент инерции барабана.

Решение. Момент инерции барабана можно определить из основного уравнения вращательного движения . На барабан действует вращательный момент силы натяжения шнура , т.е.   (10). Модуль силы натяжения шнура, можно найти из уравнения второго закона Ньютона для груза, записанного в проекциях на координатную ось, направленную вертикально вниз: , отсюда     (11). Угловое и тангенциальное ускорение, которое испытывают точки, лежащие на ободе барабана, связаны соотношением   (12). Подставим (11) и (12) в (10) и выразим момент инерции: . Численное значение

Задача 1. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если известно, что амплитуда колебаний равна 4 см, период – 2 с, а начальная фаза колебаний равна .

Решение.  Уравнение гармонических колебаний имеет вид x = x_m sin (ωt + φ₀).  Циклическую частоту колебаний определим из соотношения . Подставив данные в СИ в уравнение колебаний, получим ответ:

Задача 2.Уравнение незатухающих колебаний имеет вид:  Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии y=2 м от источника колебаний через t=1 с после начала колебательного движения. Скорость распространения колебаний v=150 м/с.

Решение. Уравнение волнового движения имеет вид . Волновое число , подставим его в уравнение волны: или . Расчеты дают х=9,4^.10^-3 м.