Назад . Вперед
Содержание
Предисловие
I. Основные теоретические сведения
1. Введение
2. Кинематика
3. Динамика материальной точки
4. Силы в природе
5. Законы сохранения в механике
6. Механика твердого тела
7. Механические колебания и волны
8. Гравитация
II. Дидактические материалы
1. Задания для самопроверки усвоения материала на репродуктивном уровне
2. Алгоритм решения задач по динамике
3. Примеры решения задач
4. Основная и дополнительная литература
III. Модели
Кинематика
Примеры решения задач
Примеры решения задач по теме 2 «Кинематика»
Примеры решения задач по теме 3 «Динамика материальной точки»
Примеры решения задач по теме 4 «Силы в природе»
Примеры решения задач по теме 5 «Законы сохранения в механике»
Примеры решения задач по теме 6 «Механика твердого тела»
Примеры решения задач по тема 7 «Механические колебания и волны»



Задача 1.Тело бросили горизонтально с высоты 20 м. Найдите начальную скорость тела, если дальность полета равна 60 м.
Решение. В условии задачи высота представляет собой проекцию перемещения на ось OY, т.е. Sy=20 м, дальность полета – проекцию перемещения на ось OX, т.е. Sx=60 м.
Т.к. тело движется с постоянным ускорением, можно использовать уравнение
  (1). Спроецировав уравнение (1) на горизонтальную ось, получим (учитывая, что проекция вектора ускорения свободного падения на данную ось равна нулю, т.е. gx=0):
  (2)
В уравнении (2), кроме начальной скорости, неизвестно еще время. Его можно найти, записав уравнение (1) в проекции на ось OY (учитывая, что проекция вектора начальной скорости на данную ось равна нулю, т.е. v0y=0):
  (3)
Из уравнения (3) выразим время  , и, подставив его значение в уравнение (3), найдем начальную скорость:
.
Подставив численные значения, получим: v0=30 м/с.

Задача 2. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте =900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал 100 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения до остановки вентилятора? 
Решение. > При каждом обороте вентилятор совершает угловое перемещение, равное рад. Следовательно, за n оборотов он совершит угловое перемещение   (4). Т.к. движение равнозамедленное, можно использовать формулу  для углового перемещения формулу   (5) а модуль углового ускорения найти из соотношения . Подставляя выражение для углового ускорения в (5), с учетом (4) получим: , откуда  или

Задача 1. Найти силы натяжения нитей в устройстве с подвижным блоком, изображенного на рисунке. Масса тел m1 = 4 кг,  m2 = 3 кг.  Массой нитей и блоков пренебречь.
Решение. С учетом того, что двойной блок дает выигрыш в силе в два раза, а ускорение левого груза в  раза больше (проигрыш в расстоянии), система уравнений в векторной форме для каждого из грузов будет иметь вид:
или, в проекциях на координатную ось ОУ, направленную вверх:
.
Решая данную систему, получим выражение для ускорения:

Задача 2. Конус с углом раствора   вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. В конусе находится шарик  массой m, прикрепленной к внутренней поверхности конуса с помощью нити. Радиус окружности,  по которой вращается шарик, равен R. Найти силу натяжения нити и силу давления шарика на конус. Трение не учитывать.
Решение. На шарик действуют сила тяжести, направленная вниз, сила реакции опоры, направленная перпендикулярно внутренней поверхности конуса и сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Из-за вращения конуса шарик описывает окружность радиуса R, соответственно центростремительное ускорение направлено к центру данной окружности. Уравнение второго закона Ньютона для данного случая имеет вид:
.
Спроецируем это уравнение на координатные оси, показанные на рисунке:
.

Из первого уравнения найдем силу натяжения нити: , из второго – силу реакции опоры, которая по модулю равна силе давления шарика на конус: .


Задача 1. Какую силу надо приложить к латунной проволоке длиной 3 м и площадью сечения 1 мм2 для ее удлинения на 1,5 мм.
Решение.  Связи силы с деформацией растяжения выражает закон Гука . Коэффициент k можно найти, зная размеры проволоки и значение модуля Юнга для латуни (это табличная величина, модуль Юнга Е=1011 Па). Получаем: , F=50 Н.
Задача 2. Возле кольца из тонкой медной проволоки, радиусом r=1 мм, на его оси, на расстоянии l=5 см от центра кольца расположен шарик массой m=2 г. Радиус кольца R=20 см. Найти силу, с которой кольцо притягивает шарик.
Решение. Закон всемирного тяготения сформулирован для материальных точек. В данной задаче за материальную точку можно принять шарик, тогда как кольцо необходимо разбить на отдельные элементы dliс массами mi. Возьмем точку, находящуюся, например, на вершине кольца. Шарик притягивается этой точкой с силой , направленной, как показано на рисунке. Если разложить элементарные силы Fi на составляющие,  одна из которых параллельна оси кольца, а вторая перпендикулярна, то перпендикулярные составляющие для любых двух элементов, находящихся на противоположных концах диаметра, уничтожаются, а параллельные составляющие складываются. Тогда сумма параллельных составляющих , или , или окончательно . Вычисления дают

Задача 1.  Шарик массой m упал с высоты  h на стальную плиту и отскочил вверх в результате абсолютно упругого удара. Найти изменение импульса шарика.
Решение. В задаче требуется найти изменение импульса   (6) Напомним, что изменение любой величины – это разность между ее конечным и начальным значением). Из чертежа видно, что в момент перед ударом импульс направлен вниз, а в момент после удара импульс направлен вверх. Поэтому, спроецировав уравнение (6) на ось OY, получим:

Δp=p2+p1  (7)
Модуль импульса p1=mv1 найдем, применив закон сохранения механической энергии: на высоте h шарик обладал потенциальной энергией mgh относительно поверхности плиты, в момент удара потенциальная энергия полностью перешла в кинетическую mv2/2, т.е. справедливо равенство
,
 из которого найдем скорость шарика
.
Т.к. удар по условию абсолютно упругий, то после удара шарик поднимется на ту же высоту, следовательно, скорость шарика после удара можно найти аналогично,
.
Подставив найденные значения в уравнение (7), получим ответ:

.

Задача 2. Пуля попадает в ящик с песком и застревает в нем. Насколько сожмется пружина, удерживающая ящик, если пуля имеет массу m, и движется со скоростью v, а масса ящика с песком равна М, жесткость пружины k.
Решение.  После соударения ящик вместе с пулей начинает двигаться с какой-то скоростью u, т.е.  обладает кинетической энергией. Т.к. силой трения по условию задачи можно пренебречь, то будем считать, что вся кинетическая энергия ящика с песком и пулей перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины, т.е.
, отсюда . Начальную скорость u можно найти, применяя закон сохранения импульса: . Подставив значение скорости в выражение для жесткости, окончательно получим: .

Задача 1. Человек массой m=60 кг находится на неподвижной платформе,   массой  M=100 кг. Какова будет частота вращения платформы n, человек будет двигаться по окружности радиусом r=5 м вокруг оси вращения со скоростью v=4 км/ч относительно платформы. Радиус платформы R=10 м. Считать платформу однородным диском, а человека точечной массой.
Решение: частота вращения связана с угловой скоростью соотношением    (8), где- угловая скорость платформы.  Т.к. на платформу не действуют внешние силы, то выполняется закон сохранения момента импульса:   (9), где угловая скорость человека , момент его инерции , момент инерции платформы . Подставим все значения в уравнение (9) и выразим угловую скорость платформы: . Подставив значение угловой скорости в (8), окончательно найдем: , численное значение

Задача 2. Груз массой m=2 кг привязан к концу шнура, намотанного на барабан радиусом R=20 см. Груз опускается с ускорением a=3м/с2. Определите момент инерции барабана.
Решение. Момент инерции барабана можно определить из основного уравнения вращательного движения . На барабан действует вращательный момент силы натяжения шнура , т.е.   (10). Модуль силы натяжения шнура, можно найти из уравнения второго закона Ньютона для груза, записанного в проекциях на координатную ось, направленную вертикально вниз: , отсюда     (11). Угловое и тангенциальное ускорение, которое испытывают точки, лежащие на ободе барабана, связаны соотношением   (12). Подставим (11) и (12) в (10) и выразим момент инерции: . Численное значение

Задача 1. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если известно, что амплитуда колебаний равна 4 см, период – 2 с, а начальная фаза колебаний равна .
Решение.  Уравнение гармонических колебаний имеет вид x = xm sin (ωt + φ0).  Циклическую частоту колебаний определим из соотношения . Подставив данные в СИ в уравнение колебаний, получим ответ:
Задача 2.Уравнение незатухающих колебаний имеет вид:  Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии y=2 м от источника колебаний через t=1 с после начала колебательного движения. Скорость распространения колебаний v=150 м/с.
Решение. Уравнение волнового движения имеет вид . Волновое число , подставим его в уравнение волны: или . Расчеты дают х=9,4.10-3 м.

··· Вверх ···
Рецензенты: д-р пед. наук, профессор Медведев В.Е.(Мценский филиал ОГТУ, Мценск), к. ф-м. н., доцент Зайцев А.А.(ЕГУ, Елец).
Размещено по решению РИС ЕГУ им. И.А. Бунина (протокол номер 1 от 14 марта 2007 г.).
© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина 2007 г.
© Авторы: Трофимова Елена Ивановна  , Федянин Сергей Владимирович